王丙森
【摘要】从数学史的角度研究高中数学，对认识、理解数学教育具有启发意义。揭示数学概念、法则、结论的发展和本质，追求数学发展的历史足迹，能够使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会到其中蕴含的思想方法。本文从圆锥曲线历史中，找到椭圆概念与现在教材的联系，同时介绍了椭圆的推导方法，通过在历史上对椭圆知识的处理，感受现今高中教材中对椭圆设置的合理性，感受数学的历史对高中数学的影响。
【关键词】数学史；高中数学；椭圆的定义；椭圆方程的推导；圆锥曲线
中图分类号：G6336文献标识码：A文章编号：67-0568（207）34-04-02一、问题的提出
在人教A版高中数学教材选修2-，第二章“圆锥曲线与方程”，第22节“椭圆”的教材中，用绳子画椭圆，由画法归纳出椭圆的定义，然后推导椭圆的标准方程，这种方式非常简洁，由此推理得出相关结论，也符合数学知识的逻辑体系。但是教材没有给出为什么“用平面截圆锥得到不同的截口是圆锥曲线”与“用绳子固定两端画图形得出椭圆定义”的关系；而且椭圆标准方程推导过程中，由于运算特别复杂，又没有相对简单的计算方法，让学生不困在烦琐的计算中，激发学生学习的兴趣。为解决这个问题，我们可以从圆锥曲线的数学史中找到椭圆概念与现今教材中定义的联系及答案。二、椭圆定义的发展
圆锥曲线在公元前4世纪就已经闪亮登场了，古希腊的欧几里得（约公元前325-公元前265）著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的许多性质做了系统地总结。尽管此书已经失传，但是上面已经作出现在椭圆的常见定义﹕
截面定义﹕椭圆是一个圆锥与不过其顶点且与其所有母线相交于同一叶上的一个平面相截而得到的平面曲线。
第二定义﹕平面上到一个定点与一条定直线距离之比为定值（小于）的点的轨迹为椭圆。
直到7世纪法国数学家洛必达在《圆锥曲线分析》中才抛弃了古希腊人的定义方法，给出了椭圆的第一定义﹕平面上到两个定点距离之和为定值的点的轨迹为椭圆，与我们现在的教材相仿。
到了822年，比利时数学家旦德林在一篇论文中才利用圆锥的两个内切球，直接在圆锥上做出椭圆的截面的焦点，导出焦半径的性质，从而把古希腊截面定义和7世纪椭圆第一定义之间联系在一起。
如图旦德林双球：圆锥内有两个内切球，两球在截面的两侧，其切点分别为E和F，在截面上任取一点A作圆锥的母线分别与内切球交于B，C两点，显然AB和AF；AC和AE分别为球的切线，易得AF+AE=AB+AC（定值），且E，F为焦点，进而更合理地解释了为什么椭圆叫圆锥曲线；为什么动点到两个定点的距离和为定值；而且还意外得知：为什么椭圆会与两个定点相关，即为什么会有焦点。
通过上述椭圆定义的发展，可以让我们对椭圆的认识从直观地感性认识逐渐地上升到理性的认识，通过分析得出严谨地数学定义，通过数学的发展史，使我们清楚为什么教材能用绳画得出椭圆，得到椭圆的定义。三、椭圆方程的推导
方法一是教材的方法，“两次平方”化简，换元
如图2建系AB为x轴，CD为y轴，设|FF2|=2，点P（x，y），|PF|+|PF2|=2（[&t;]），
即：[（x-）2+y2+（x+）2+y2=2]
[（x+）2+y2=2-（x-）2+y2]
两边平方有：
[（x+）2+y2=42-4（x-）2+y2+（x-）2+y2?2-x=（x-）2+y2]
两边再平方有：
[4-22x+2x2=2（x2-2x+2+y2）?（2-2）x2+2y2=2（2-2）]
设[b2=2-2（b&t;0）]有：
[b2x2+2y2=2b2?x22+y2b2=（&t;b&t;0）]
方法二是数学家洛必达（66～704）的推导方法，但他并没有把方程化成椭圆方程的标准形式。如上图2，设椭圆的长轴|AB|=2，短轴|CD|=2b，焦距|FF2|=2，椭圆上任意一点P（x，y）。由于|PF|+|PF2|=2（[&t;]），设[|PF|=+z，|PF2|=-z]（z为参数），
所以有：[|PF|=（x+）2+y2，|PF2|=（x-）2+y2]
[|PF|2-|PF2|2=（+z）2-（-z）2]
[=（x+）2+y2-（x-）2+y2]
[?z=x]
又[+z=（x+）2+y2]
[?+x=（x+）2+y2?2+2x+2x22=x2+2x+2+y2?y2=b22（2-x2）（b2=2-2）]
洛必达的椭圆方程用长短轴之比表达了椭圆的性质，他的推导方法在9世纪被许多作者采用。
方法三是用余弦定理和椭圆定义推导，如图三