朱小平
【摘要】数学核心知识是近几年数学教育教学改革研究的热点话题之一。目前，教育研究工作者和实践工作者对数学核心知识的研究，主要集中在数学核心知识的内涵、特征、教育价值、遴选和教学策略等方面。未来研究应该注重平衡数学核心知识与非核心知识之间的关系，实现数学核心知识、核心能力和核心思想的统一。
【关键词】数学核心知识；内涵；特征；教育价值；教学策略
中图分类号：G420文献标识码：A文章编号：67-0568（207）34-0026-04
对于核心知识的研究，可以追溯到美国、英国、芬兰、挪威等西方发达国家于20世纪90年代开始推行的“核心知识课程”改革，经过20多年的发展，目前国内从小学到大学也在广泛地开展各个学科的核心知识教学研究，核心知识教学研究逐渐走向深入，成为全球教育的一个研究热点。我国《国家中长期教育改革和发展规划纲要》指出，要“适度减少学科课程比重”“合理设计课程内容”，大力发展学生的创新精神和实践能力。具体到数学教学中，也必然要求我们科学、合理地对教学知识进行简化处理，引导学生建构数学核心知识及其知识体系，改善学生的学习质态，提升其学业水平和数学素养。要做到这点，就必须明确数学核心知识，并在此基础上重构数学教学。一、数学核心知识的内涵及特征
基本含义
希尔斯等认为核心知识指“纯粹的知识”“从大量的知识中选择永恒的持久的知识”，即“共享、稳固、序列和具体”的知识。龙宝新等将“每个教学单元中必须让学生获得、理解、重构的主要知识经验”界定为学科核心知识。王红等则从人类知识分类的视角进行阐述，“核心知识是指陈述性知识中最有迁移性的概念性知识、程序性知识以及元认知知识中有助于指导学习者进行自我程序与策略建构的基础性知识”。
章建跃强调，“数学核心知识是数学课程内容结构和功能的基本单位”，是“处于核心的、关键性的地位”的基础知识（包括数学思想和方法），它们具有“内在逻辑的连贯性和一致性”。魏光明认为“小学阶段的数学核心知识主要包括搭建小学数学课程和教材框架的最基础和最重要的数学概念、计算公式、运算律和运算性质、数量关系、几何形体特征等及其所蕴含的数学思想和数学方法”。它们“是保持教学内容前后连贯和一致的重要纽带”，具有“适用范围广、自我生长、迁移能力强”等特点。
显然，目前人们倾向于把重要的数学基础知识定性为数学核心知识，它们在数学课程和教材中处于核心的、不可或缺的基础地位。这些主要知识、关键知识使数学学科形成稳定结构而保持不变，它们能整合或解释其他很多数学知识。综上，我们认为，数学核心知识是指那些适用范围广，自我生长和迁移能力强的基础知识，它们具有内在逻辑的连贯性和一致性，在数学课程和教材中处于重要的、不可或缺的基础和主干地位。
2主要特征
首先，核心知识有三个明显的特点：一是统摄性。核心知识是一个教学活动的基轴与焦点，是把零碎的课堂知识串联起来，使之融为一体、有机关联的内线与铰链。可以说，核心知识教学是整个教学活动的连心锁，是赋予教学活动以整体性的关键；二是内核性。核心知识是教学知识单元的细胞核，相对而言，非核心知识只是其生存的环境；三是衍生性。在课堂知识中，核心知识最具再生力与生发力，它是最具活性的一种知识类型，是一切其他课堂知识得以生发与依附的主根。
其次，核心知识还具有“境域性”和“结构性”等特征。任何知识的意义不仅是由其本身的陈述来表达的，更是由其所位于的整个意义系统来表达的，即知识存在于一定的时间、空间、理论范式、价值体系、语言符号等文化因素之中，知识具有境域性特征，数学核心知识也不例外。同时，作为教师，需要有意识地结构化地组织、加工学习材料，帮助学生形成结构性的观点，促进学生从整体上把握数学，让学生在“见树木，更见森林；见森林，才见树木”的情境中学习数学核心知识。二、数学核心知识的作用与价值
数学教育的深层改革呼唤厘清数学“核心知识”，加强“核心知识”教学。具体表现为：
加强核心知识教学可以清理课堂教学中的装饰性、冗杂性成分，给课堂教学“减负”，给学生的学习活动松绑，努力构建一种“低耗、明快、简洁、便捷的课堂教学结构，全力打造一种直击靶心、学习主线的课堂教学形态。”课堂教学的有限时空和众多繁杂的教学内容是相对矛盾的，平均用力显然不够现实。因此，“瞄准教材中处于重要的、不可或缺的基础、主干地位的核心知识展开浓墨重彩的教学，不失为一种智慧的选择。”
小学数学所涉及的基本原理、基本方法、基本关系、基本问题等核心知识，在教材内容展开过程中，具有“开启全新的内容领域、联结相关的教学段落、引領重要的思考方向、促进适时的沟通融合”等独特意蕴和突出作用。从教材层面看，需要以“核心知识”凝聚教学内容。以“核心知识”来统率教学内容，可以有效降低知识点的零散程度，实现减量不减质的目标；从教师层面看，能够借“核心知识”促进专业发展。教师通过挖掘核心知识的本质特征及其内隐的数学思想方法，根据知识间的内在联系，重构内容结构体系，能够更好地“用教材教”“创造性地使用教材”；从学生层面看，可以用“核心知识”优化学习质态。学生的时间和精力是有限的，抓住核心知识，就可以将学习兴趣、时间和空间还给孩子，让他们充分地动手操作、动脑思考、动口表达，主动地建构，深刻地体验，实现心灵舒展、情智共生。
此外，从“核心素养”落地生根的角度来考虑，“知识层面的教学是最清晰、最容易被人感知的，但借助知识教学落实学科核心素养也是最困难、最复杂的。知识点往往是琐碎的、无序的，而核心素养是系统的、多维度的能力和品格，所以将知识点形成体系是落实核心素养的重要途径。”而关注和加强核心知识教学，恰好能够统一众多知识点并形成体系，进而实现“化知为能，转识成智”这一教育目标。同时，就数学学科而言，核心知识是开展深度学习的切入点和组织深度学习的载体。
三、数学核心知识的研究内容
数学核心知识的研究主要体现为三个方面，一是核心知识的筛选与确立，属于针对数学核心知识本身的研究；二是核心知识教学的要求与策略，关乎教法和学法层面的研究；三是涉及核心素养的主旨观照，即立足核心知识教学提升核心素养的研究。
核心知识的筛选与确立
根据课堂结构最优化、精致化、简约化的要求，我们可以对单元课时中的核心教学内容进行萃取，析取核心概念、基本原理与重点知识，具体思路是“先对单元课时的教学内容进行整体分析，梳理出相对独立的知识点，然后依据课程或课时教学目标对这些知识点各自的重要性进行赋权，从众多知识点中萃取、筛选出核心知识点。”
数学核心知识是数学课程内容结构和功能的基本单位，核心概念是数学核心知识的“控制中心”，在数学知识的发生、发展中起着重要作用，是数学知识的主要生长点。把握住数学核心概念，就抓住了数学知识的根本，掌握了知识增长的源泉。同时，小学数学核心知识作为最为基础和普通的数学知识，其“核心”的基点和着力点指向于认知块、问题串和思维场，功效表征为其自身高度概括的程度以及与特定情境的紧密联系程度。
小学数学核心知识的筛选与确立，我们可以参照以下方法（见下表）：从数学整体看，核心知识是一些基本方法和基本思想；从四大领域看，核心知识是一些基本原理和基本关系；从知识序列来看，核心知识一般处于知识序列前端或者发生发展过程中的拐点和节点；从知识的某个段落来看，核心知识是一些基本问题。
[内容＼&p;分类视角＼&p;表现形式＼&p;举例＼&p;小学数学核心知识＼&p;知识整体＼&p;基本思想方法＼&p;对应、枚举、转化＼&p;知识领域＼&p;基本原理＼&p;乘法分配律＼&p;基本关系＼&p;分数和除法＼&p;知识序列＼&p;拐点、节点＼&p;表内乘法、整十数乘一位数、两位数乘一位数、两位数乘两位数等为乘法序列中的节点＼&p;知识段落＼&p;基本问题＼&p;24时计时法中如何确定一天的起点和终点＼&p;]
2核心知识教学的策略与要求
核心知识一经确立，剖析教材时就要从深度和广度上对其进行全方位的挖掘，最终使学生能全面、深刻地理解和灵活地运用，进而使学生对知识的理解更加深入，对知识间的关联更加清楚，学生自身的认知结构更加完备。
（）常用的教学策略。龙宝新研究发现，一般教学策略是“核心知识组块”策略，即依托核心知识组块来推进教学活动的策略。每一“核心知识组块”都是沿着知识的主导功能——学习者发展这一主线串联起来的，其大致构成是：内核是核心知识，外围是调节性知识，夹层是背景性知识。辜伟节认为常用策略可以分为基础性策略、优化性策略和发展性策略。其中，基础性策略包括聚合策略和发散策略，优化性策略分为“优选”和“强化”策略，发展性策略分为引探策略和建构策略。
（2）教学要求及步骤。数学教学的中心任务是塑造学生良好的数学认知结构，使之具有不断吸收新的数学知识的能力和知识自我生长的能力。研究实践表明：核心知识教学的基本要求有“重视核心知识内涵和本质的理解性表达，重视核心知识深度和广度的全方位挖掘，重视核心知识教学的问题性和探究性，重视核心知识教学的聚合性和发散性”，引导学生进行核心知识体系建构的基本步骤包括“建构核心概念，吸附知识‘固着；搭建知识链条，引导知识聚集；形成知识群块，激活知识联系；内化知识体系，实现知识生长”。
3观照核心素养的核心知识教学
206年2月，中国教育学会发布《中国学生发展核心素养（征求意见稿）》，指出核心素养是学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。与此同时，国内众多学者及教师分别从理论和实践维度就“核心素養”做出了自己的思考。数学核心知识与数学核心素养、综合核心素养之间存在必然的联系。我们如何在数学学科教学中落实指向学生未来发展的核心素养？
（）着眼核心素养的知识遴选与教学。根据黄为良的观点“在展开过程中考察内涵丰富性、在拓展过程中考察自主生长性、在整理过程中考察结构关联性、在应用过程中考察基本解释力”遴选核心知识，对学生“引领探究”并“加强应用”相关知识，[2]我们才能从低效、重复、令人厌倦的各种训练中抬起头来，将目光更加从容地投向学科核心素养和学生的长远发展，也才能使学生体会数学学习的乐趣。
（2）“思维可视化”技术整合与应用。刘濯源关于思维可视化教学实验的研究成果表明，发展学生的数学核心素养主要是发展学生积极的数学情感模式（感性经验系统）、优质的数学思维品质（理性思考系统）以及相应阶段清晰完整的数学知识结构（线性知识结构和网状知识结构）。其中，数学核心知识是线性知识结构的基点或节点，以及网状知识结构的中心点。运用“思维可视化”教学策略（运用图示技术把本来不可见的思考方法、路径呈现出来）来实现教法与学法的升级，是一种已经被验证并且越来越广泛接受的新途径。比如，借助知识导图或思维导图这一工具的帮助，将其整合、链接为“核心知识导图”，并在和其他教学资源、教学素材相结合的基础上形成直接可以向学生教授的“核心知识包”，以此达到“深度呈现知识内在结构”的目的。
（3）“产出导向”数学核心知识教学。在“互联网+”时代，每个人最需要的不再是简单占有大量知识，而是核心知识、关键能力和必备品格三位一体的核心素养。魏光明认为，数学教育应该精选数学核心知识，着眼于学生学习“产出”来组织教学活动，引导学生创生数学知识，联结数学知识，应用数学知识，促进学生深度理解和灵活迁移，提升其以高阶思维能力和学习力为核心的学科素养。为将学生核心素养的培育目标落到实处，我们理应将学习的主动权还给学生，将知识的“产出权”赋予学生，拉长核心知识创生、体验和完善过程，经由充分且多元对话，建构并分享知识的意义世界，实现知识学习与人的整体发展相统一。四、数学核心知识研究展望
正确认识和处理数学核心知识与非核心知识之间的平衡关系
布鲁纳曾说，所掌握的知识越基础、越概括，对新学习的适应性就越广泛；用基本的、一般的观念来不断扩大和加深知识，应当成为教育过程的核心。数学教学要反复回到这些基础知识——核心知识，以它们为基础，直至学生掌握了与之观念相适应的完整知识体系和思想方法为止。
与此同时，对于某一学习阶段来说，核心知识不能多，也不能乱。事实上，要学习核心知识，还需要许多“非核心知识”来做支撑，并且核心知识和非核心知识的内容呈现还要有一定的比例，要“在一大堆纷繁知识中确立核心知识的地位，安排好核心知识呈现的时机，处理好核心知识和非核心知识的关系，帮助核心知识实现它的生长力。”我们要善于区分和筛选核心知识与非核心知识，切实提高自己对数学的理解水平。在聚焦核心知识的基础上，把非核心知识“下放”给学生，让一节课中学生的有效之“学”走向最大化，让教师的“教”直击靶心，让教学活动多做“有用功”，从而走向理想的“低耗高效”教学质态。
2数学核心素养是数学核心知识、核心能力和核心思想的统一
数学核心知识、核心能力和核心思想是构成数学核心素养的基本元素。数学核心能力有两方面：思维能力与问题解决能力。其中，思维能力是核心能力的核心，而思维能力的核心包括了创造力和想象力。数学核心思想主要有：抽象思想、推理思想和模型思想，它们内隐于知识学习和问题解决过程之中。
在数学教学中，要“挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的抽象过程，数学知识的应用过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的基本套路。”专注于数学的核心内容及其反映的数学思想方法，引导学生返璞归真地思考问题、解决问题，可以达到以简驭繁、以不变应万变的效果。同时，有利于学生形成对数学的有一定深度的整体认识，进而提升数学素养，从而也真正体现数学教学的育人价值。
总之，重视和加强数学核心知识的教学及研究是落实数学核心素养最实际的有形载体。数学核心知识的掌握与数学核心能力的形成是不可分割的，因为个体在获取、整合和运用数学知识的过程中形成了实践与创新等各种能力，数学核心能力的形成与提升也必定是在掌握数学知识的基础上实现的。更进一步说，如果没有数学核心知识和核心能力的奠基，个体发展的数学核心素养的养成则最终可能会沦为一句空话。
参考文献：
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（編辑：胡璐）
文章来源于：新课程研究·上旬