向鸥
摘要:数学因其学科特点,是一门具有很强逻辑性、抽象性、系统性的学科而数学中的几何部分逻辑性、抽象性、系统性更强,解决几何问题不能仅仅依靠单纯的模仿与记忆,而是要促使学生动手实践、合作交流与自主探索提出适当的问题几何的综合性非常强,它所需要的不仅仅是当下所学习的几个定理,还会用到以前所学到的知识点,多个知识点的综合运用确实需要学生会思考,会假设,会论证,会总结下面我以等边三角形的判定,性质的综合运用,引导学生思考,假设,论证,总结
关键词:等边三角形性质;等边三角形判定
等边三角形的性质和判定定理
等边三角形的性质:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°
等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形的性质和判定的综合运用
Ⅱ如图,等边三角形ABC中,D是AB上的动点,以CD为一边,向上做等边三角形EDC,连接AE
求证:⑴△ACE≌△BCD;⑵AE∥BC
思路分析:()根据△ABC和△EDC是等边三角形,利用等边三角形的性质,等边三角形的三条边相等和等边三角形的三个角相等,求证∠ACE=∠BCD然后即可证明结论。(2)根据△ACE≌△BCD,可得∠ABC=∠CAE=60°,利用等量代换求证∠CAE=∠ACB即可。
证明:()∵△ABC和△EDC是等边三角形
∴∠ACB=∠DCE=60°
AC=BC,DC=EC
又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD
∠ACE=∠DCE-∠ACD
∴∠BCD=∠ACE
∴△ACE≌△BCD
(2)∵△ACE≌△BCD
∴∠ABC=∠CAE=60°
又∵∠ACB=60°
∴∠CAE=∠ACB
∴AE∥BC
此题主要考查等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,以及平行线的判定等知识点的理解和掌握然而此题当中还有一个陷阱,学生往往看到动点两个字会感到非常害怕,不想思考,甚至不想再往后面读题。但是这道题跟动点没有关系此题不僅仅培养学生在综合题型上的分析能力,还能让学生学会区分真假陷阱此题难易程度适中,比较具有典型性
Ⅲ如图,等边三角形ABC中,∠ACB和∠ABC的平分线相交于点O,OB、OC的垂直平分线分别交BC于E、F,连接OE、OF
求证:△OEF是等边三角形
思路分析:从题目条件看,利用三角形的外角性质易求∠OEF=∠OFE=60°,从而证明△OEF是等边三角形
证明:∵E、F分别是线段OB、OC的垂直平分线上的点
∴OE=BE,OF=BF
∴∠OBE=∠BOE,∠OCF=∠COF
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
又∵OB、OC分别平分,∠ACB和∠ABC
∴∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°
∴∠OEF=∠OFE=60°
∴∠EOF=80°-2×60°=60°
∴△OEF是等边三角形
证明一个三角形是等边三角形,要根据已知条件选择适当的方法()如果已知三边关系,则选择等边三角形的定义来判定;(2)若已知三角关系,则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定;(3)若已知是等腰三角形,则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定。然而这个题的综合性比较强,不仅仅用到了等边三角形的性质和判定,还用到了角平分线和垂直平分线的性质,最容易让学生忽略的还是三角形的外角性质图形中的隐含已知条件往往是学生不容易关注到的
Ⅳ如图,已知点D为等腰Rt△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=5°,E位AD延长线上一点,且CE=CA
()求证:DE平分∠BDC
(2)若点M在DE上,且DC=DM,求证:ME=BD
思路分析:()此题在第一问中解答方法不止一种,这里简单介绍两种方法方法一:由△ABC为等腰直角三角形可得AC=BC,∠CAB=∠CBA=45°,由∠CAD=∠CBD=5°可得∠DAB=∠DBA=30°,从而得到DA=DB,利用三角形的外角性质可得∠BDE=60°用AC=BC,DA=DB,CD为公共边可得△ACD≌△BCD,通过全等三角形的性质可得∠ACD=∠BCD=45°,再次利用三角形的外角性质可得∠CDE=60°,从而证明出DE平分∠BDC
证明:()∵△ABC为等腰直角三角形
∴AC=BC,
∠CAB=∠CBA=45°,∠ACB=90°
∵∠CAD=∠CBD=5°
∴∠DAB=∠DBA=30°
∴DA=DB
在△ACD和△BCD中,
∴△ACD≌△BCD
∴∠ACD=∠BCD=45°
又∠BDE=∠DAB+∠DBA=60°
∠CDE=∠DAC+∠ACD=60°
∴∠BDE=∠CDE=60°
∴DE平分∠BDC
(2)连接MC
∵DC=DM,∠CDE=60°
∴△CDM是等边三角形
∴CD=CM,∠CMD=60°
∴∠CME=20°
又∠BDC=∠BDE+∠CDE=20°
∴∠CME=∠BDC=20°
∵CE=CA
∴∠CAD=∠E=5°
∵∠CAD=∠CBD=5°
∴∠E=∠CBD=5°
在△ECM和△BCD中,
∴△ECM≌△BCD
∴ME=BD
此题综合性非常强,不仅仅用到了等边三角形的性质和判定,还用到了垂直平分线的性质,等腰三角形的性质“等边对等角”和性质“三线合一”,等腰三角形的判定,三角形的外角性质,以及全等三角形的判定和性质因此此题难度很大而本题的一题多解,相同的条件,相同的问题,多样的方法,极大的触动了学生,丰富了他们的思维,激发了他们不断探索的兴趣,培养学生分析问题和解决问题的能力
参考文献
[]启航新课堂八年级(上册)吉林教育出版社207
[2]启航新课堂八年级(上册)吉林教育出版社207
[3]启航新课堂八年级(上册)吉林教育出版社207
(作者单位:科学城一中)
文章来源于:世界家苑